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环的同构（二） Z7中4的平方根有几个（A）。 Z77中4的平方根有（B）个。 二次多项式x2-a在Zp中至多有（D）根。 在Z77中，6是没有平方根的。（正确）
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集合的划分（一）
数学的整数集合用字母（D）表示。
- AM
- BW
- CN
- DZ
（B）是第一个被提出的非欧几何。
- A解析几何
- B罗氏几何
- C黎曼几何
- D欧氏几何
黎曼几何属于费欧几里德几何，并且认为过直线外一点有（A）直线与已知直线平行。
- A没有直线
- B无数条
- C至少2条
- D一条
在今天，牛顿和莱布尼茨被誉为发明微积分的两个独立作者。（正确）
代数中五次方程及五次以上方程的解是可以用求根公式求得的。（错误）
集合的划分（二）
星期日用数学集合的方法表示是（A）。
- A{7R|R∈Z}
- B{5R|R∈Z}
- C{7R|R∈N}
- D{6R|R∈Z}
A={1,2}，B={3,4},A∩B=（D）。
- AB
- B{1,2,3,4}
- CA
- DΦ
将日期集合里星期一到星期日的七个集合求并集能到（B）。
- A自然数集
- B整数集
- C小数集
- D无理数集
集合的性质有（BCD）。
- A
封闭性
- B
互异性
- C
确定性
- D
无序性
星期二和星期三集合的交集是空集。（正确）
空集属于任何集合。（错误）
集合的划分（三）
S是一个非空集合，A，B都是它的子集，它们之间的关系有（C）种。
- A4
- B2
- C3
- D5
发明直角坐标系的人是（C）。
- A牛顿
- B伽罗瓦
- C笛卡尔
- D柯西
如果SM分别是两个集合，SХM{(a,b)|a∈S,b∈M}称为S与M的（B）。
- A牛顿积
- B笛卡尔积
- C莱布尼茨积
- D康拓积
空集是任何集合的子集。（正确）
任何集合都是它本身的子集。（正确）
集合的划分（四）
如果x∈a的等价类，则x～a,从而能够得到（B）。
- Ax∈a
- Bx的等价类=a的等价类
- Cx=a
- Dx的笛卡尔积=a的笛卡尔积
0与{0}的关系是（C）。
- A二元关系
- B等价关系
- C属于关系
- D包含关系
设～是集合S上的一个等价关系，任意a∈S，S的子集{x∈S|x～a}，称为a确定的（A）。
- A等价类
- B等价集
- C等价积
- D等价转换
如果X的等价类和Y的等价类不相等则有X～Y成立。（错误）
A∩Φ=A（错误）
等价关系（一）
x∈a的等价类的充分必要条件是（B）。
- Ax=a
- Bx～a
- Cx与a不相交
- Dx>a
设R和S是集合A上的等价关系，则R∪S的对称性（C）。
- A不可能满足
- B一定不满足
- C一定满足
- D不一定满足
星期一到星期日可以被统称为（B）。
- A模3剩余类
- B模7剩余类
- C模1剩余类
- D模0剩余类
等价关系具有的性质有（BCD）。
- A反对称性
- B对称性
- C反身性
- D传递性
所有的二元关系都是等价关系。（错误）
如果两个等价类不相等那么它们的交集就是空集。（正确）
等价关系（二）
设A为3元集合，B为4元集合，则A到B的二元关系有（C）个。
- A13
- B15
- C12
- D14
对任何a属于A，A上的等价关系R的等价类[a]R为（C）。
- A不确定
- B{x|x∈A}
- C非空集
- D空集
a与b被m除后余数相同的等价关系式是（A）。
- Aa-b是m的整数倍
- Ba是b的m倍
- Ca*b是m的整数倍
- Da+b是m的整数倍
整数集合Z有且只有一个划分，即模7的剩余类。（错误）
设R和S是集合A上的等价关系，则R∪S一定是等价关系。（错误）
模m同余关系（一）
在Zm中规定如果a与c等价类相等，b与d等价类相等，则可以推出（D）。
- Aa*b与c*d等价类相等
- Ba+d与c-b等价类相等
- Ca+c与d+d等价类相等
- Da+b与c+d等价类相等
整数的四则运算不保“模m同余”的是（A）。
- A除法
- B减法
- C加法
- D乘法
如果今天是星期五，过了370天，是（D）。
- A星期五
- B星期三
- C星期二
- D星期四
同余理论是初等数学的核心。（正确）
整数的除法运算是保“模m同余”。（错误）
模m同余关系（二）
对任意a∈R,b∈R,有a+b=b+a=0,则b称为a的（B）。
- A整元
- B负元
- C零元
- D正元
Zm的结构实质是（C）。
- A整数环
- Bm个元素
- C模m剩余环
- D一个集合
集合S上的一个（B）运算是S*S到S的一个映射。
- A一元代数运算
- B二元代数运算
- C对数运算
- D二次幂运算
中国剩余定理又称孙子定理。（正确）
如果环有一个元素e，跟任何元素左乘右都等于自己，那称这个e是R的单位元。（正确）
模m剩余类环Zm（一）
设R是一个环，a∈R，则a·0=（B）。
- A1
- B0
- C2
- Da
Z的模m剩余类环的单位元是（D）。
- A2
- B0
- C3
- D1
若环R满足交换律则称为（B）。
- A单位环
- B交换环
- C分配环
- D结合环
设R是非空集合，R和R的笛卡尔积到R的一个映射就是运算。（正确）
整数的加法是奇数集的运算。（错误）
模m剩余类环Zm（二）
设R是一个环，a，b∈R，则(-a)·（-b）=（D）。
- A-ab
- Bb
- Ca
- Dab
设R是一个环，a，b∈R，则(-a)·b=（B）。
- Aab
- B-ab
- Cb
- Da
设R是一个环，a，b∈R，则a·（-b）=（B）。
- Aab
- B-ab
- Cb
- Da
环R中满足ab∈R，如果ab=ba=e(单位元），那么其中的b是唯一的。（正确）
Z的模m剩余类环是有单位元的交换环。（正确）
环的概念
Z的模4剩余类环不可逆元的有（A）个。
- A2
- B4
- C1
- D3
在模5环中可逆元有（D）个。
- A3
- B1
- C2
- D4
设R是有单位元e的环，a∈R，有（-e）·a=（A）。
- A-a
- B-e
- Ce
- Da
一个环没有单位元，其子环不可能有单位元。（错误）
环的零因子是一个零元。（错误）
域的概念
不属于域的是（A）。
- A(Z,+,·)
- B(C,+,·)
- C(R,+,·)
- D(Q,+,·)
设错误是一个有单位元（不为0）的交换环，如果错误的每个非零元都是可逆元，那么称错误是一个（B）。
- A函数
- B域
- C积
- D元
最小的数域是（A）。
- A有理数域
- B整数域
- C实数域
- D复数域
整环一定是域。（错误）
域必定是整环。（正确）
整数环的结构（一）
对于a,b∈Z，如果有c∈Z,使得a=cb，称b整除a,记作（C）。
- Ab/a
- Bb&a
- Cb|a
- Db^a
不属于整环的是（B）。
- AZ[i]
- BZ6
- CZ
- DZ2
在整数环中没有（A）。
- A除法
- B加法
- C乘法
- D减法
整数环是具有单位元的交换环。（正确）
整环是无零因子环。（正确）
整数环的结构（二）
能被3整除的数是（A）。
- A102
- B122
- C92
- D112
不能被5整除的数是（D）。
- A220
- B425
- C115
- D323
a与0 的一个最大公因数是（D）。
- A2a
- B1
- C0
- Da
整环具有的性质包括（ACD）。
- A有单位元
- B有零因子
- C无零因子
- D交换环
在整数环的整数中，0是不能作为被除数，不能够被整除的。（错误）
整除关系是等价关系。（错误）
整数环的结构（三）
gac(234,567)=（C）
- A12
- B6
- C9
- D3
对于a,b∈Z，如果有a=qb+r，d满足（B）时候是a与b的一个最大公因数。
- Ad是q与r的一个最大公因数
- Bd是b与r的一个最大公因数
- Cd是b与q的一个最大公因数
- Dd是a与r的一个最大公因数
若a=bq+r,则gac(a,b)=（C）。
- Agac(b,q)
- Bgac(a,r)
- Cgac(b,r)
- Dgac(a,q)
0是0与0的一个最大公因数。（正确）
对于整数环，任意两个非0整数a,b一定具有最大公因数。（正确）
整数环的结构（四）
gcd(56,24)=（A）
- A8
- B2
- C4
- D1
如果d是被除数和除数的一个最大公因数也是（D）的一个最大公因数。
- A除数和0
- B余数和1
- C被除数和余数
- D除数和余数
对于整数环，任意两个非0整数a,b一定具有最大公因数可以用（C）。
- A分解法
- B列项相消法
- C辗转相除法
- D十字相乘法
计算两个数的最大公因子最有效的方法是带余除法。（错误）
用带余除法对被除数进行替换时候可以无限进行下去。（错误）
整数环的结构（五）
若a,b∈Z，且不全为0，那么他们的最大公因数有（D）个。
- A3
- B5
- C4
- D2
若a与b互素，有（B）。
- A(a,b)=a
- B(a,b)=1
- C(a,b)=b
- D（a,b）=0
由b|ac及gac(a,b)=1有（C）。
- Aa|c
- Bb|a
- Cb|c
- Da|b
在Z中，若a|c,b|c,且(a,b)=1则可以a|bc.（错误）
任意两个非0的数不一定存在最大公因数。（错误）
整数环的结构（六）
p是素数，若p|ab，(p,a)=1可以推出（C）。
- A(p,ab)=1
- B(p,b)=1
- Cp|b
- Dp|a
若（a,c）=1,(b,c)=1则（ab,c）=（D）。
- Ab
- Bc
- Ca
- D1
对于任意a∈Z，若p为素数，那么（p,a）等于（A）。
- A1或p
- Bp
- C1，a，pa
- D1
所有大于1的素数所具有的公因数的个数都是相等的。（正确）
a与b互素的充要条件是存在u,v∈Z使得au+bv=1。（正确）
整数环的结构（七）
素数的特性之间的相互关系是（C）。
- A单独关系
- B不可逆
- C等价关系
- D不能单独运用
p与任意数a有（p,a）=1或p|a的关系，则p是（D）。
- A复数
- B实数
- C整数
- D素数
p不能分解成比p小的正整数的乘积，则p是（D）。
- A复数
- B实数
- C整数
- D素数
1不是（BCD）。
- A有理数
- B无理数
- C素数
- D合数
p是素数则p的正因子只有P。（错误）
合数都能分解成有限个素数的乘积。（正确）
Zm的可逆元（一）
Z6的可逆元是（A）。
- A1
- B3
- C2
- D0
Z8中的零因子有（C）。
- A7
- B8
- C0
- D4
在Zm中，等价类a与m满足（A）时可逆。
- A互素
- B相反数
- C互合
- D不互素
Zm的每个元素是可逆元或者是零因子。（正确）
p是素数，则Zp一定是域。（正确）
Zm的可逆元（二）
不属于Z7的可逆元是（A）。
- A7
- B3
- C5
- D1
Z10的可逆元是（C）。
- A10
- B5
- C7
- D2
在Z91中等价类元素83的可逆元是（D）等价类。
- A38
- B19
- C91
- D34
Z91中，34是可逆元。（正确）
Z81中，9是可逆元。（错误）
模P剩余类域
任一数域的特征为（D）。
- A1
- B无穷
- Ce
- D0
在域错误中，e是单位元，对任意n，n为正整数都有ne不为0，则错误的特征是（D）。
- A错误
- Bp
- C任意整数
- D0
在域错误中，e是单位元，存在n，n为正整数使得ne=0成立的正整数n是（C）。
- A合数
- B偶数
- C素数
- D奇数
任一数域的特征都为0，Zp的特征都为素数p。（正确）
设域错误的单位元e，存在素数p使得pe=0。（正确）
域的特征（一）
域错误的特征为p，对于任一a∈错误，pa等于（D）。
- Ap
- Ba
- C1
- D0
Cpk=p(p-1)…(p-k-1)/k!，其中1
- A
p
- B
- C
kp
- D
特征为2的域是（A）。
- AZ2
- BZ5
- CZ
- DZ3
设域错误的特征为3，对任意的a，b∈错误，有（a+b）^2=a^2+b^2。（错误）
设域错误的特征为素数p，对任意的a，b∈错误，有（a+b）^p=a^p+b^p。（正确）
域的特征（二）
设p是素数，则（p-1）!≡（C）（modp）
- A0
- Bp
- C-1
- D1
68^13≡（D）（mod13）
- A67
- B69
- C66
- D68
设p是素数，对于任一a∈Z ，ap模（B）和a同余。
- A所有合数
- BP
- C所有素数
- Da
设p是素数，则对于任意的整数a，有a^p≡a（modp）。（正确）
9877是素数。（错误）
中国剩余定理（一）
剩余定理是（D）人发明的。
- A古埃及
- B古罗马
- C古希腊
- D中国
中国古代求解一次同余式组的方法是（D）。
- A中值定理
- B儒歇定理
- C韦达定理
- D孙子定理
首先证明了一次同余数方程组的解法的是我国（A）的数学家。
- A南宋
- B三国
- C汉朝
- D唐朝
“韩信点兵”就是初等数论中的解同余式。（正确）
一次同余方程组在Z中是没有解的。（错误）
中国剩余定理（二）
n被3，5，11除的余数分别是1,3,3且n小于100，则n=（D）。
- A56
- B60
- C54
- D58
n被3，4，7除的余数分别是1,3,5且n小于200，则n=（B）。
- A177
- B187
- C170
- D180
最早给出一次同余方程组抽象算法的是（A）。
- A秦九识
- B孙武
- C牛顿
- D祖冲之
一个数除以5余3，除以3余2，除以4余1.求该数的最小值53。（正确）
欧拉在1743年，高斯在1801年分别也给出了同余方程组的解法。（正确）
欧拉函数（一）
Z3的可逆元个数是（A）。
- A2
- B0
- C3
- D1
Zp是一个域那么可以得到φ(p)等于（C）。
- A1
- Bp
- Cp-1
- D0
φ(m)等于（D）。
- A集合{1,2…m-1}中奇数的整数的个数
- B集合{1,2…m-1}中与m互为合数的整数的个数
- C集合{1,2…m-1}中偶数的整数的个数
- D集合{1,2…m-1}中与m互素的整数的个数
求取可逆元个数的函数φ(m)是高斯函数。（错误）
在Zm中，a是可逆元的充要条件是a与m互素。（正确）
欧拉函数（二）
φ(4)=（A）
- A2
- B4
- C3
- D1
当m为合数时，令m=24，那么φ(24)等于（C）。
- A10
- B7
- C8
- D2
设p为素数，r为正整数，Ω={1，2,3,…pr}中与pr不互为素数的整数个数有（D）个。
- Ap
- Br
- Cpr
- Dpr-1
φ(12)=φ(3*4)=φ(2*6)=φ(3)*φ(4)=φ(2)*φ(6)（错误）
设p是素数，则φ(p)=p。（错误）
欧拉函数（三）
φ(12)=（B）
- A2
- B4
- C3
- D1
φ(10)=（B）
- A2
- B4
- C3
- D1
Zm1*Zm2的笛卡尔积被称作是Zm1和Zm2的（B）。
- A算术积
- B直和
- C集合
- D平方积
φ(24)=φ(4)φ(6)（错误）
设m1，m2为素数,则Zm1*Zm2是一个具有单位元的交换环。（正确）
欧拉函数（四）
Φ(3)Φ(4)=（D）
- AΦ(3)
- BΦ(4)
- CΦ(24)
- DΦ(12)
Φ(7）=（D）
- AΦ(1)Φ(6)
- BΦ(2)Φ(5)
- CΦ(3)Φ(4)
- DΦ(2)Φ(9)
有序元素对相等的映射是一个（D）。
- A散射
- B不对等映射
- C不完全映射
- D单射
Φ(N)是欧拉函数，若N＞2，则Φ(N)必定是偶数。（正确）
Φ(4)=Φ(2)Φ(2)（错误）
欧拉函数（五）
a是Zm的可逆元的等价条件是（C）。
- Aσ（a）是Zm的元素
- Bσ（a）是Zm1的元素
- Cσ（a）是Zm1，Zm2直和的可逆元
- Dσ（a）是Zm2的元素
若映射σ既满足单射，又满足满射，那么它是（A）。
- A双射
- B不完全映射
- C互补映射
- D集体映射
单射在满足（D）时是满射。
- A两集合元素不相等
- B两集交集为空集
- C两集合交集不为空集
- D两集合元素个数相等
属于单射的是（A）。
- Ax →2x + 1
- Bx →x^3 − x
- Cx → e^x
- Dx → ln x
数学上可以分三类函数包括（ACD）。
- A单射
- B反射
- C满射
- D双射
对任一集合X，X上的恒等函数为单射的。（正确）
映射σ是满足乘法运算，即σ(xy)=σ(x)σ(y)。（正确）
欧拉函数（六）
根据欧拉方程的算法φ(1800)等于（A）。
- A480
- B1800
- C180
- D960
属于双射的是（A）。
- Ax →2x + 1
- Bx → cosx
- Cx → e^x
- Dx → x^2
不属于满射的是（B）。
- Ax →2x + 1
- Bx → x^2
- Cx → x-1
- Dx → x+1
既是单射又是满射的映射称为双射。（正确）
x → ln x不是单射。（错误）
环的同构（一）
环R与环S同构，若R是除环则S（A）。
- A一定是除环
- B不一定是除环
- C可能是除环
- D不可能是除环
环R与环S同构，若R是域则S（A）。
- A一定是域
- B不一定是域
- C可能是域
- D不可能是域
环R与环S同构，若R是整环则S（A）。
- A一定是整环
- B不一定是整环
- C可能是整环
- D不可能是整环
同构映射有保加法和除法的运算。（错误）
环R与环S同构，则RS在代数性质上完全一致。（正确）
环的同构（二）
Z7中4的平方根有几个（A）。
- A2
- B0
- C3
- D1
Z77中4的平方根有（B）个。
- A2
- B4
- C3
- D1
二次多项式x2-a在Zp中至多有（D）根。
- A一个
- B不存在
- C无穷多个
- D两个
在Z77中，6是没有平方根的。（正确）
Z7和Z11的直和，与Z77同构。（正确）
Z﹡m的结构（一）
Z12*=（B）
- A{3,5,7,11}
- B{1,5,7,11}
- C{1,5,9,11}
- D{1,2,5,7}
当群G满足（C）时，称群是一个交换群。
- A减法交换律
- B加法交换律
- C乘法交换律
- D除法交换律
非空集合G中定义了乘法运算，如有ea=ae=a对任意a∈G成立，则这样的e在G中有（B）。
- A
无数个
- B
有且只有1一个
- C
2个
- D
无法确定
群具有的性质包括（ABC）。
- A
结合律
- B
有逆元
- C
有单位元
- D
分配律
在Z12*所有元素的逆元都是它本身。（正确）
Z12*是保加法运算。（错误）
Z﹡m的结构（二）
Z12*的阶为（B）。
- A8
- B4
- C6
- D2
若a∈Z9*，且为交换群，那么a的（C）次方等于单位元。
- A任意次方
- B3
- C6
- D1
Zm*的结构可以描述成（B）。
- A阶为φ(m)的交换环
- B阶为φ(m)的交换群
- C阶为φ(m)的交换类
- D阶为φ(m)的交换域
Z5关于剩余类的乘法构成一个群。（错误）
Zm*是一个交换群。（正确）
Z﹡m的结构（三）
Z9*中满足7n=e的最小正整数是（C）。
- A4
- B1
- C3
- D6
Z5*中2的阶是（B）。
- A2
- B4
- C3
- D1
Z5*中3的阶是（B）。
- A2
- B4
- C3
- D1
设G是n阶群，任意的a∈G，有a^n=e。（正确）
在整数加群Z中，每个元素都是无限阶。（错误）
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